《柯西中值定理与洛必达法则》使用注意事项及参考课件节选

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一、柯西中值定理使用有关注意事项

(1) 在柯西中值定理的结论公式中，如果取分母函数为x，则柯西中值定理就变为拉格朗日中值定理，所以说柯西中值定理是拉格朗日的一个推广.

(2) 特别注意：柯西中值定理的右侧的ξ，分子分母为同一个值.在验证柯西中值定理的条件中，重点关注构造的分母函数在考虑的区间内是否取到零.

(3) 柯西中值定理适用于证明包含有端点函数值与中值导数的等式；如果等式包含有导数值和自变量的端点值，则考虑拉格朗日中值定理；对于可以使用柯西中值定理和拉格朗日中值定理能够证明的中值等式，一般都可以考虑使用罗尔定理证明.

二、洛必达法则求极限的注意事项

(1) 考虑使用洛必达法则求极限必须要考虑分子、分母函数满足洛必达法则满足的条件，重点关注求导后的极限式的存在性；分母及其导函数不等于0的条件；分子、分母同时趋于0或无穷大的条件.

(2) 函数极限计算的思考步骤一般为：先考虑四则运算法则（一定要注意必须满足极限存在、分母不为零才能使用），然后考虑等价无穷小（注意乘除因式放心使用，加减运算小心使用），第三考虑洛必达法则，最后考虑带皮亚诺余项的麦克劳林公式. 

注意：由于极限的计算一般习惯于极限变量趋于0的变化过程，所以一般在考虑计算极限时，最好将极限的变量变换过程经过换元转换为自变量趋于0的变化过程.

参考课件节选：

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